Sugestiones para la enseñanza de la aritmética
Surgieron de la siguiente observación
En las primeras clases de la escuela, los niños calculan oralmente, con facilidad y resuelven problemas bastante complejos, siendo en elevado porcentaje incapaces de resolver el mismo problema por escrito; (descartamos que se trata de dificultades que, por sus conocimientos, tanto podrían vencer en una forma o en otra), y en las clases superiores ocurre lo contrario.
Nos explicamos este hecho por el divorcio que se establece con frecuencia entre la enseñanza de lo que conduce al dominio de las técnicas y lo que responde al espíritu esencialmente matemático: lógica y precisión en los resultados.
Para evitar ese separatismo y para llevar, desde el principio, la enseñanza de manera que el niño se desempeñe tan fácilmente en el campo de lo oral como en el de lo escrito, aconsejamos:
1º.- Que el cálculo oral se exprese con los signos convencionales, que constituyen el lenguaje matemático escrito; y el trabajo escrito se inicie después de un proceso oral, que permita discriminar el qué hacer, el cómo hacer y determinar, por aproximación el resultado lógico; pero evitando que uno retrase lo otro y sin entender que, invariablemente, deben marchar juntos.
2º.- Enseñar numeración entera o decimal y operaciones, partiendo de situaciones reales, es decir, de problemas, evitando, en todo momento, que se opere por operar, o sea en abstracto.
3º.- Acostumbrar a proceder con precisión y seguridad, de tal manera, que, frente a una situación nueva, no quepa la duda de si deberá sumar o restar, etc. Esto se consigue enseñando el significado o los significados de cada operación; por ejemplo: dividir no es solamente repartir, sino también, hacer una cantidad varias veces menor, o ver cuántas veces una cantidad contienen a otra, etc.
4º.- Acostumbrar invariablemente a verificar la lógica en el resultado, por comprobación directa del mismo, es decir, que si se suma, se obtenga una cantidad mayor que cada uno de los sumandos, si se resta, que el residuo sea menor que el minuendo, etc.
5º.- Una vez enseñadas todas las operaciones, obligar al alumno a resolver lo que se le plantee por el camino más corto y simple; por ejemplo: niños que por escrito multiplican cantidades bastantes grandes, en cálculo oral resuelven por suma, numeración o progresión lo que exige una simple multiplicación.
Sugestiones para primer año
1º.- Aconsejamos como medio de desinfantilizar la enseñanza, sin apartar al niño de su mundo real, de dar base a conocimientos que deben adquirirse en lo sucesivo y para trabajar con elementos de la vida del adulto, de especial atracción para el niño y por lo tanto, para que sea mayor el gusto por una enseñanza que tienda a ser árida, introducir, en primer año, tanto en el aprendizaje de la numeración como en el del cálculo oral, el uso de las unidades del sistema métrico y de sus múltiplos y submúltiplos, tomados como unidades; principalmente “explotar” la balanza. Ésta puede ser fuente de fecundos ejercicios destinados a la enseñanza de la numeración, así como el manejo de grado, decilitro, etc., puede serlo para dar idea de decena, o de valor absoluto y relativo de un guarismo.
2º.-Aconsejamos hacer uso del cero en la cuenta, como representación de la ausencia de cantidad.
Con dos cajas, por ejemplo y cierto número de objetos, puede el maestro plantear situaciones reales que den origen a estas cuentas escritas: 3+2= 5, 0+3= 3, 3+0= 3, 3+0+2= 5, 0+3+2= 5, 0+2+3= 5, 0+5= 5, etc. introduciendo el conocimiento práctico de las propiedades asociativas y conmutativas de la suma.
3º.- Estadísticas realizadas en varios países demostraron que, en la vida real unas operaciones se efectúan en un número de veces muchísimo mayor que otras; hay desequilibrio entre las oportunidades para hacer las distintas operaciones; la escuela debe contrapesar esa circunstancia y presentar al alumno, ocasión de realizar todas las operaciones y las diversas maneras de realizar una misma operación; por ejemplo resta, por el método de préstamo y por el de compensación.
Problemas
Póngase en una caja 6 lápices y que un alumno escriba en el pizarrón dicho número; en otra caja deposítense 8 lápices y que otro alumno escriba dicho número en el pizarrón. Reúnanse todos los lápices en la primera caja. Que los alumnos digan cuántos son los lápices reunidos.
Hágase realizar por medio de cifras escritas la operación efectuada con los objetos, es decir, 6+8= 14 y que verifiquen que el número resultante, como en la realidad, es mayor que los sumandos. Que el niño indique con objetos, qué representa el 6, el 8, 6+8, 14, qué el signo. Realícese el ejercicio depositando los lápices de la primera caja en la segunda, de modo que dé origen a la operación siguiente: 8 + 6 = 14. Que los niños noten que el resultado es el mismo. Háganse varios ejercicios análogos empleando varias cajas, de modo que se originen sumas de distintos sumandos.
(En general conviene variar los objetos usados a fin de que el niño no asocie el número con el nombre del objeto; pero no variar la especie usada en un mismo ejercicio, sino, además remarcar lo más frecuentemente posible que se está operando con objetos de la misma especie). Juan y José tienen 9 y 6 bolitas respectivamente.Escríbanse dichos nombre en el pizarrón, anotando, debajo de cada uno, el número de bolitas que le corresponde.
José le da las bolitas a Juan. ¿Cuántas tendrá Juan y con cuántas se queda José? Resuelto el problema oralmente, exprésese por escrito. El número 6 puesto debajo del nombre José, bórrese y en su lugar póngase cero y el 6 a manera de sumando, colóquese debajo del 9. ¿Qué representan: el 9, el 16, 9+6; el signo, el 15, el cero puesto debajo del nombre José? Háganse problemas análogos, al fin sin escribir los nombres, sí los números y que den origen a sumas de varios sumandos, de manera que los alumnos vean la necesidad de resolver el problema por escrito.
Tómese una varilla de 8 centímetros y otra de 5 centímetros. Tomando como la unidad el centímetro, hágase medir cada uno. Póngase la varilla de 5 centímetros a continuación de la otra; mídase la longitud de las dos varillas reunidas. Exprésese por medio de símbolos la operación realizada: 8 + 5 = 13. ¿Qué representa el 8, qué el 5, etc.?
Realícese el ejercicio para que resulte 5 + 8 = 13 y hágase notar que se obtiene el mismo resultado y que el número que lo expresa es mayor que los sumandos.
Realícense problemas análogos con varias varillas y con segmentos rectilíneos. Efectúense problemas concretos, orales y escritos, con varios sumando de manera que los escritos adquieran mayor jerarquía que los orales, para que el alumno obtenga el convencimiento de que el cálculo escrito es el medio más seguro para evitar errores, sin ser el único.
Es conveniente que el alumno resuelva oral y aproximadamente el problema, porque ello obliga a realizar antes de entrar en acción, la serie de deducciones lógicas que conducen a la solución del mismo.
Por otra parte es conveniente que el resultado escrito se compare con el obtenido en forma aproximada, con el fin de ver si ambos son iguales o si las diferencias son pequeñas.
En el caso que la di ferencia de los resultados sea notable, analizar cuál de los dos está de acuerdo con la realidad intuitiva del alumno. Indúzcase al niño, en tal caso a descubrir el motivo del resultado disparatado.
Recórtese cartones o chapitas metálicas, de manera que pesen un gramo, dos, tres, cuatro, etc. y escríbase en cada uno el número que indica su peso. Póngase en un platillo de una balanza un cartón de ocho gramos hasta que la balanza se ponga en equilibrio. Dígase que en este caso el peso del cartón grande es igual al peso de los ocho cartones juntos porque la balanza se halla en equilibrio, vale decir, que la suma de los pesos de los cartones pequeños, es igual al del cartón grande. Que los alumnos indiquen dicha operación escribiendo: 1+1+1+1+1+1+1+1 (en columna) = a 8.
Póngase en un platillo tres cartones cuyos pesos respectivos sean: 1, 3, 4 gramos. Pregúntese cuánto debe pesar el cartón que, puesto en el otro platillo, ponga en equilibrio la balanza. Realícese la experiencia. Indíquese por medio de números la operación realizada: 1 + 3+ 4= 8.
Póngase un cartón cuyo peso no conozca el alumno, en uno de los platillos (8 gramos). En el otro se colocará un peso conocido por los niños, ejemplo 4 gramos. La balanza permanece en el sitio que tenía. Pregúntese cuál de los dos es el más pesado. ¿Qué podemos asegurar? Que pesa más que cuatro gramos. Saquemos el cartón de cuatro gramos y en su lugar pongamos otro de 10 gramos la balanza se inclina indicando que el cartón puesto ahora es más pesado que el cartón de peso desconocido. ¿Qué podemos asegurar? Que el cartón incógnito pesa menos de 10 gramos y más de 4 gramos. ¿Cuánto puede pesar? (Obsérvese que todos lo cartones pesan un número entero de gramos) Los alumnos responderán 5, 6, 7, 8, 9 gramos. Se escribirán dichos número en el pizarrón. Póngase una pesa de 9 gramos en lugar de la de 10; se verifica que el cartón de peso desconocido pesa menos. Pongamos una de 6 gramos y comprobamos que el cartón incógnito pesa más. Hágase notar que el cartón pesa menos de nueve gramos y más de 6 gramos. Que los niños que indicaron como peso 7 y 8 gramos lo manifiesten. Póngase una pesa de 7 gramos. El cartón pesa más. ¿Cuánto pesa el cartón? Si el ejercicio está bien llevado todos contestarán 8 gramos. Compruébese por medio de la balanza y mostrando el número que el cartón incógnito tiene escrito.
En esta forma el niño aprende a pesar y a tener lógica en sus juicios.
Póngase en un platillo de la balanza un cartón cuyo peso no conozca el alumno (16 gramos) y que deseamos que averigüe. Póngase en el otro platillo un cartón de más peso (20 gramos) mostrando antes a los alumnos el número que indica su peso. Como el platillo de la balanza tiene el cartón de 20 gramos baja, preguntamos a los alumnos cómo podemos averiguar el peso, que ignora del cartón.
Si no poseemos más que dos pesas de dos gramos, una de 3 y otra de un gramo ¿cómo haremos para poner en equilibrio la balanza? Después de varios tanteos lograrán hacerlo, poniendo, donde hay 16 gramos dos pesas de 3 y una de un gramo, o de dos y dos gramos. ¿Cuál es el platillo que soporta más peso? ¿Cuál es el peso que soporta cada platillo? Tómese en la mano los tres cartones (el de peso desconocido, el de 3 y el de un gramo). Pregúntese cuánto pesan los tres cartones y escríbase el número en el pizarrón. Retírense de la mano los cartones de tres y un gramo mostrando los números que indican sus pesos. ¿Cuánto pesan juntos lo dos cartones? 4 gramos.
Que los niños escriban dicho número y digan cómo lo obtuvieron.3 + 1 = 4. ¿Cuánto pesa el cartón que quedó en la mano? 16 gramos. ¿Cómo obtuvieron ese resultado? 20 – 4 = 16.
Tomemos cuatro cajas de fósforos. En la primera pongamos 5 fósforos, en la segunda 4, en la tercer 8 y en la cuarta 2; formemos con las cuatro cajas una columna, de manera que la primera ocupe la parte superior. ¿Cuántos fósforos hay en las cuatro cajas juntas? (19). Coloquemos los fósforos de la primera caja en la segunda retirando aquélla de la columna. ¿Cuántos fósforos hay en la segunda caja? (9).Coloquemos los fósforos de la segunda caja en la tercera, retirando la segunda caja. ¿Cuántos fósforos hay en la tercer caja? (17) Pongamos los fósforos en la cuarta caja, quedándonos solamente con ésta. ¿Cuántos fósforos contiene? Los sacamos y los hacemos contar. Se verifica que son 19. Hagamos por escrito la operación colocando los sumandos en el mismo orden que ocupaban las cajas en la columna.
Al sumar el primer sumando con el segundo, hágase notar que la suma obtenida representa los fósforos que reunimos en la segunda caja; y así sucesivamente. Coloquemos las cajas en el orden establecido como para el ejercicio anterior. Reunimos el contenido de las cajas primera y segunda, retirando aquélla; hacemos lo mismo con los fósforos de la tercera y la cuarta cajas, retirando la tercera. ¿Cuántos fósforos hay en la segunda caja? ¿Cuántos en la cuarta? Reunimos el contenido de ambas en la cuarta. ¿Cuántos fósforos contiene ésta?
Que los alumnos expresen por medio de números escritos las operaciones realizadas con los objetos; es decir: 5 + 4 = 9; 8 + 2 = 10; 9 + 10 = 19; hacer otros ejercicios orales y escritos. (De esta manera aplicamos la propiedad asociativa de la suma, que tan fundamental es en la realización de muchos problemas).
Pueden realizar ejercicios análogos al anterior empleando la balanza de brazos iguales. Ejemplo: pongamos en un platillo de la balanza una pesa de 21 gramos (puede emplearse un tubo de vidrio conteniendo la cantidad de arena necesaria para que tenga ese peso); en el otro platillo pongamos cuatro pesas de 6, 7,5, y 3 gramos. Hagamos notar que la balanza está en equilibrio y lo que esto significa, es decir, 21 gramos en igual a la suma de 6+7+5+3.
Reemplacemos los pesos de 6 y 5 gramos con uno de 11 y 7 y 3 con otro de 10 gramos. La balanza vuelve a estar en equilibrio lo que significa que la suma no ha alterado. Luego, se finaliza, expresando con número la operación realizada: 6+5=11; 7+3=10; 11+10=21.
